Presiones críticas de pandeo en tubos colapsables relevantes para flujos biomédicos

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 9298 (2023) Citar este artículo

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El comportamiento de los vasos colapsados o estenóticos en el cuerpo humano se puede estudiar mediante geometrías simplificadas como un tubo colapsable. El objetivo de este trabajo es determinar el valor de la presión crítica de pandeo de un tubo colapsable empleando la teoría de transición de fase de Landau. La metodología se basa en la implementación de un modelo numérico 3D validado experimentalmente de un tubo colapsable. La presión crítica de pandeo se estima para diferentes valores de los parámetros geométricos del sistema, tratando la relación entre la presión intramuros y el área de la sección transversal central como la función de parámetros de orden del sistema. Los resultados muestran la dependencia de las presiones críticas de pandeo con los parámetros geométricos de un tubo colapsable. Se obtienen ecuaciones generales no dimensionales para las presiones críticas de pandeo. La ventaja de este método es que no requiere ninguna suposición geométrica, sino que se basa únicamente en la observación de que el pandeo de un tubo colapsable puede tratarse como una transición de fase de segundo orden. Los parámetros geométricos y elásticos investigados son sensibles para la aplicación biomédica, con particular interés para el estudio del árbol bronquial en condiciones fisiopatológicas como el asma.

La posibilidad de estudiar el transporte de masas en el cuerpo humano, ya sea en el caso del aire o de la sangre, en términos de modelos matemáticos y numéricos representa uno de los ejemplos más fructíferos del puente entre la medicina y la ingeniería. La aplicación de modelos de dinámica de fluidos computacional (CFD), interacción fluido-estructura (FSI) y aeroacústica ha mejorado notablemente la comprensión de las condiciones fisiopatológicas del sistema circulatorio1, el sistema respiratorio2, 3, el proceso de producción de voz4 y el sistema cerebrovascular5, entre otros. los demás. La validez de los resultados obtenidos por medio de tales modelos numéricos necesita ser confirmada por campañas experimentales de casos específicos. La variedad y la complejidad geométrica de los vasos humanos pueden hacer que este paso crucial sea extremadamente desafiante. En este sentido, los modelos simplificados como los tubos plegables6,7,8 siguen siendo ampliamente utilizados tanto en modelos numéricos como en la práctica clínica. A pesar de la geometría simplificada, la fenomenología de un tubo colapsable es lo suficientemente rica como para capturar los mecanismos físicos más relevantes de los vasos colapsados9. La dinámica de un tubo colapsable depende esencialmente de la llamada presión intramural que se define como la diferencia de presión entre el interior (el lumen) y el exterior del tubo. En presencia de flujo de fluido, se debe considerar una contribución adicional debido a la aceleración del flujo cerca de la constricción, lo que resulta en una región de presión estática negativa. A medida que aumenta la presión externa (es decir, la presión intramural se vuelve negativa), el tubo comienza a colapsarse. Para un valor crítico de la presión intramural, el tubo experimenta un fenómeno de pandeo que da como resultado una sección transversal de dos lóbulos (ver Fig. 1). Tal valor se denomina presión crítica de pandeo y juega un papel importante en la evaluación y diagnóstico de muchas patologías que involucran estenosis y constricciones10,11,12. En esta configuración, las pequeñas variaciones de la presión intramural darían como resultado grandes variaciones del área de la luz. Si la presión externa sigue aumentando (o la presión interna sigue disminuyendo debido a la aceleración del flujo), las paredes internas del tubo se tocarán entre sí (ver Fig. 1) y eventualmente conducirán al cierre completo de la luz. Una estimación precisa y específica del paciente de la presión crítica de pandeo permite tomar decisiones clínicas más informadas. Un ejemplo lo da la presión crítica de pandeo faríngeo para pacientes afectados por Apnea Obstructiva del Sueño (AOS). La AOS es la patología más común en el espectro respiratorio de los trastornos del sueño13. Los pacientes afectados por AOS experimentan el colapso recurrente de la faringe durante el sueño, lo que provoca apnea que afecta severamente la calidad de vida de los pacientes. La evaluación de la gravedad de la patología y la elección del tratamiento dependen en gran medida de los valores de la presión crítica de pandeo de la faringe14. Sin embargo, su estimación requiere que los pacientes pasen la noche en el hospital y sean monitoreados continuamente, resultando en una experiencia bastante intrusiva para el paciente y con un alto impacto económico en el sistema de salud15.

Desde una perspectiva más cuantitativa, este problema se puede formular en términos de la llamada ley del tubo, es decir, la relación entre la presión intramural y el área de la sección transversal central del tubo colapsable (ver Fig. 1). Es importante remarcar que esta relación es válida en ausencia de flujo. El círculo azul en la Fig. 1 resalta la región donde ocurre la transición. A medida que la presión intramural negativa aumenta en valor absoluto, primero se produce la transición a la configuración de pandeo. El área de la sección transversal en forma de reloj de arena reduce rápidamente su valor hasta que se produce el contacto del lumen. En el contexto de la ley de los tubos, es posible formular las preguntas de investigación como: ¿es posible estimar el valor exacto de la presión crítica de pandeo en el área azul de la Fig. 1 a partir de las propiedades geométricas y elásticas del tubo colapsable? ? ¿Cómo estos valores dependen de tales propiedades? ¿Es posible encontrar ecuaciones generales capaces de estimar la presión crítica de pandeo para tubos colapsables relevantes para flujos biomédicos?

Un ejemplo de la ley del tubo (a la derecha). El círculo azul indica la región donde ocurren las transiciones de pandeo. A la izquierda se presentan las secciones transversales relativas al régimen de prepandeo, postpandeo y postcontacto. El área está normalizada en la configuración de la sección transversal central correspondiente al resto.

Curiosamente, el problema de la presión crítica de pandeo ya fue abordado a principios de 1900 por von Mises16 (para un tratamiento en inglés, es posible consultar el libro de Timoshenko17) quien derivó la siguiente ecuación para una sección transversal de pandeo de dos lóbulos:

En esta ecuación, E es el módulo de Young, \(\nu\) es la relación de Poisson, \(\gamma =h/D\) donde h es el espesor de la pared y D es el diámetro interno, y \(d =l_0/D\) donde \(l_0\) es la longitud en reposo del tubo. Sin embargo, la derivación analítica de esta ecuación se basa en sólidas suposiciones geométricas. La primera suposición sobre la geometría cilíndrica perfecta del sistema dificulta su aplicación a geometrías más realistas. En segundo lugar, dado que se basa en la teoría de capa delgada, esta ecuación sobreestima el valor de la presión crítica para el rango de parámetros de interés para los flujos biomédicos18 (ver "Presión crítica de pandeo"). Además, los vasos humanos están sujetos a un estiramiento previo19 considerable (hasta \(60\%\) de la longitud original para el sistema respiratorio20) que no se considera en la ecuación. (1). En consecuencia, el análisis de la ley de los tubos ha sido objeto de varios estudios y actualmente es de gran relevancia tanto desde el punto de vista de la ingeniería21 como de la clínica22. Se han propuesto varias derivaciones analíticas de la ley del tubo, bajo diferentes supuestos. Whittaker et al.23 estudiaron la dinámica de un tubo colapsable largo, preestirado y de paredes delgadas sometido a una presión intramural isotrópica. Las ecuaciones resultantes sólo son válidas bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones. Shapiro y colaboradores analizaron el comportamiento del tubo colapsable en presencia del flujo de fluidos estacionario24 y no estacionario25, y su aplicación a la medicina26 y al análisis de fenómenos de propagación de ondas27. Conrad propuso un modelo de parámetros agrupados para describir la dinámica de un tubo colapsable como una resistencia no lineal controlada por flujo28. Bertram29 propuso otro modelo de parámetros agrupados para describir el complejo comportamiento de interacción fluido-estructura de un tubo colapsable. Debido a la geometría relativamente simple del sistema, la investigación experimental de los tubos colapsables tiene una larga historia. La primera observación experimental del inicio de las oscilaciones venosas autoexcitadas fue reportada en 1824 por D. Barry (ver la revisión histórica de Bertram30 para más detalles). En tiempos más recientes, la dinámica no lineal de los tubos de paredes delgadas ha sido investigada bajo presión externa inestable por Kumar y colaboradores21. Gregory et al.31 han empleado estereoscopia de múltiples cámaras para determinar una ley de tubo generalizada empírica para tubos de paredes delgadas sometidos a diferentes pretensiones axiales. Dichos datos experimentales32 se han empleado para la validación experimental de los resultados del presente trabajo. A pesar de un cuerpo de trabajo tan impresionante que ha aclarado en gran medida muchos aspectos del comportamiento de los tubos colapsables, la estimación de la presión crítica de pandeo sigue siendo una pregunta abierta. Bertram33 ha investigado experimentalmente los efectos de parámetros relevantes como el preestiramiento axial, el espesor de la pared y la longitud del tubo sobre la ley del tubo. Más recientemente, Kozlovsky et al.34 emplearon un modelo numérico 2D validado experimentalmente para estudiar los efectos del espesor de la pared en el comportamiento posterior al pandeo de un tubo colapsable en ausencia de flujo. En su trabajo, la presión crítica de pandeo se estimó a partir de la ley del tubo por medio de un método gráfico que consiste en encontrar la intersección entre las dos regiones lineales conectadas por la rodilla lisa al inicio del pandeo (la región azul en la Fig. 1 ). Zarandi y colaboradores han analizado los efectos de la longitud del tubo sobre la presión crítica de pandeo de tubos colapsables35 en ausencia de flujo. En ese trabajo, la estimación de la presión crítica de pandeo se realizó obteniendo primero un ajuste lineal de la ley del tubo antes del pandeo y luego desplazándolo en una cantidad arbitraria. Curiosamente, sus resultados no concuerdan cualitativamente con la ecuación. (1) ya que calculan la dependencia de la presión crítica en la relación longitud-diámetro como \(p^{crit}_{buckl}\sim d^{-3.3}\) lo que confirma aún más la necesidad de investigaciones adicionales.

Resumiendo, los dos principales problemas que están obstaculizando nuevos avances significativos en este campo y, en consecuencia, la posibilidad de extender estos análisis a la práctica clínica son los siguientes:

Un análisis cuidadoso de la ley del tubo (como el esbozado en la Fig. 1) muestra que la transición entre el estado previo y posterior al pandeo de un tubo colapsable es continua. En consecuencia, la estimación de la presión crítica real no es baladí y se ha realizado únicamente mediante criterios gráficos o heurísticos difícilmente generalizables.

La mayor parte del enfoque de modelado depende fundamentalmente de suposiciones geométricas sólidas, como tubos cilíndricos perfectos o anillos elásticos 1D. Además, generalmente se desprecia el preestirado axial.

En este trabajo se propone un nuevo método basado en la teoría de transiciones de fase de Landau36 para determinar el valor de la presión crítica de pandeo a partir del análisis de la ley de los tubos. La suposición principal es que la transición de un tubo colapsable al estado de pandeo puede describirse como una ruptura de simetría espontánea. Esta hipótesis ha sido consolidada recientemente en el trabajo de Turzi37 quien ha demostrado que el comportamiento de pandeo de un anillo elástico bajo la acción de una presión externa uniforme es una transición de fase de segundo orden. La metodología del presente trabajo se basa en la implementación de un modelo numérico 3D validado experimentalmente de un tubo colapsable. El resultado de estas simulaciones consiste en un conjunto de leyes de tubos obtenidas al abarcar un rango de valores para los parámetros geométricos de tubos colapsables que son relevantes para aplicaciones biomédicas. Se utiliza una técnica de posprocesamiento basada en la teoría de las transiciones de fase para estimar la presión crítica de pandeo. La dependencia de los parámetros geométricos de la presión crítica de pandeo obtenida mediante el uso de esta técnica se compara con la ecuación. (1). Finalmente, utilizando las variables adimensionales propuestas por Gregory et al.31, se presenta un conjunto de ecuaciones generales para el pandeo y la presión crítica de contacto.

Este trabajo tiene como objetivo investigar la factibilidad del método propuesto para estimar la presión crítica de pandeo en el caso más simple de un tubo cilíndrico colapsable en ausencia de flujo de fluido. Esta suposición no impide que la descripción física del problema sea completa. De hecho, una de las principales ventajas de este método es que puede generalizarse sin más suposiciones a casos más complejos que involucren FSI y geometrías realistas, que serán objeto de un trabajo futuro.

El objetivo del modelo numérico es predecir el campo vectorial de desplazamiento de un tubo colapsable cuya pared externa está sujeta a una presión isotrópica hacia adentro. La geometría del tubo se describe en términos de tres parámetros adimensionales: la relación longitud-diámetro d, la relación espesor-diámetro \(\gamma\), y la relación, a saber, l, entre la longitud obtenida después de la imposición de un preestiramiento axial y la longitud en reposo. Para que el análisis sea relevante para los vasos humanos, los valores de estos parámetros geométricos se han seleccionado utilizando el modelo de Horsfield19 y el trabajo de Hoppin20 (recuadro azul en la Fig. 2a). Como se muestra en la Fig. 2a, los vasos sanguíneos humanos generalmente se caracterizan por un valor bajo de d (es decir, son relativamente cortos con respecto a su diámetro) y una amplia gama de valores de grosor. Cabe destacar que el preestiramiento axial puede alcanzar valores de hasta el 60% de la longitud original20 y, por lo tanto, no puede despreciarse en el esquema de modelado. Las simulaciones numéricas se realizan utilizando el software comercial Siemens Star-CCM+. Para cualquier triplete \((d,\gamma , l)\) de parámetros geométricos (puntos negros en la Fig. 2a), se implementa una réplica 3D del tubo correspondiente utilizando el software CAD incorporado. Para controlar la dirección del pandeo, la sección transversal del dominio se diseña como una elipse con una relación de ejes igual a 0.99 (ver Fig. 2b). Dado que la simulación tiene como objetivo capturar el comportamiento previo y posterior al pandeo del sistema, el tubo se modela como un material hiperelástico neo-hookeano para tener en cuenta un régimen de deformaciones tan grande (consulte "Análisis de sensibilidad" para ver una comparación con la teoría de la elasticidad lineal). El material se trata como casi incompresible. La malla se ha generado empleando una operación de volumen estructurado, utilizando como superficie de entrada uno de los lados cortos del dominio. El dominio computacional se discretiza con dos capas radiales y 50 capas longitudinales de celdas de malla hexaédrica. La dirección angular se divide en 64 elementos (ver Fig. 2b). La elección de elementos hexaédricos asegura una estimación correcta de grandes deformaciones incluso con elementos lineales finitos38. El paso de tiempo es fijo para toda la simulación y es \(\Delta t = 0.1\) s con un esquema de marcha de segundo orden. Cada paso de tiempo se divide en 10 iteraciones internas del solucionador para garantizar la convergencia adecuada de la solución. En el contexto de una simulación de mecánica puramente sólida, la convergencia se mide en términos del error residual de la versión discretizada de las ecuaciones diferenciales resueltas. El solucionador empleado en este estudio estima dicho error r para cada elemento de la malla y luego calcula su raíz cuadrática media como \(R_{rms}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _n r^2}\ ), donde n es el número de celdas de malla. Este valor se calcula para cada una de las 10 iteraciones internas dentro de un paso de tiempo y luego se normaliza. El número de iteraciones internas se ha seleccionado de tal forma que el error residual al final de cada paso de tiempo es del orden de \(R_{rms}\sim 10^{-14}\)–\(10^{ -16}\) lo que asegura una excelente convergencia de la solución numérica. Las condiciones de contorno del problema se imponen de la siguiente manera: un lado corto del dominio está sujeto, es decir, no se permite ningún movimiento en toda la sección transversal. El otro lado corto del dominio está preestirado por una cantidad que depende del valor del parámetro geométrico l. Sucesivamente, la posición de este lado corto obtenida como resultado del preestirado se mantiene fija durante el resto de la simulación. En la pared externa del dominio (es decir, la superficie cilíndrica) se impone una presión positiva isotrópica, lo que da como resultado una presión intramural negativa. El valor de la presión externa aumenta linealmente en el tiempo (ver "La ley del tubo" para más detalles), provocando primero el pandeo del tubo y finalmente el contacto de la pared interna. El contacto se maneja mediante un plano virtual repulsivo para evitar la penetración de la pared. Cuando las paredes internas se acercan al contacto, el plano ejerce una fuerza en la dirección de su normal y, en consecuencia, las paredes descansarán sobre el plano sin penetrarse entre sí.

(Panel izquierdo) Distribución de los valores de los parámetros geométricos investigados en este trabajo. Los puntos negros son relativos a las simulaciones, mientras que los puntos rojos se refieren a los datos experimentales de Gregory et al.31. La caja azul representa el espacio de posibles valores admitidos en los modelos de Horsfield19 y Hoppin20. (Panel derecho) Croquis de la malla empleada en las simulaciones numéricas. Para controlar la dirección del pandeo, la sección transversal radial del tubo es una elipse con eje menor alineado con la dirección vertical y largo 0.99r.

En la siguiente subsección, se describe el método de posprocesamiento para calcular la ley del tubo. Sucesivamente, se presenta un análisis de sensibilidad en términos de estudio de convergencia de red, condiciones de contorno y opciones de modelado. Finalmente, se discute la validación experimental de los resultados numéricos.

La ley del tubo describe la relación entre la presión intramural y el área de la sección transversal central de un tubo colapsable. La presión intramural se define como la diferencia entre la presión interna y la externa, a saber:

Debido a la ausencia de flujo de fluido, la presión intramural solo está determinada por el valor de la presión externa, ya que la presión manométrica se establece en cero y \(p_{int}=0\). La presión externa es isotrópica y aumenta linealmente en el tiempo según la siguiente relación

donde \(p_{max}>0\) es el valor máximo de la presión externa y \(t\in [0,\tau ]\). Un estudio de sensibilidad en términos de la relación \(p_{max}/\tau\) se analiza en "Análisis de sensibilidad". En cada paso de tiempo, se registra el valor de \(p_{intr} = -p_{ext}\). La sección transversal central del tubo será la más colapsada ya que es la sección transversal radial más alejada de las caras constreñidas. Para determinar el valor del área, se registran las coordenadas radiales \((r_i^j, \vartheta _i^j)\) del perímetro deformado correspondiente en cada paso de tiempo, donde el índice \(i=1,\dots ,N\) etiqueta los elementos de malla y N es el número total de elementos de malla en el perímetro. El índice \(j=1,\dots,M\) corresponde al j-ésimo paso de tiempo y M es el número total de pasos de tiempo necesarios para que la presión externa alcance el valor \(p_{max}\) en Eq . (3). El área \(A^j\) de la sección transversal central se puede calcular como:

Los dos conjuntos \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\) definen una ley de tubo. Para cada triplete de parámetro geométrico \((d,\gamma ,l)\) indicado en la Fig. 2, se calcula una ley de tubo utilizando la ecuación. (4) de la correspondiente simulación numérica. En "Presión crítica de pandeo", se introducirá una técnica de posprocesamiento basada en la teoría de transición de fase para determinar el valor de la presión crítica de pandeo a partir de la ley del tubo.

Se requiere un análisis de convergencia de cuadrícula para determinar la malla más eficiente capaz de obtener resultados confiables. El estudio se realiza cambiando el número de elementos de malla en las direcciones radial, angular y longitudinal. Los detalles sobre las especificaciones de la malla se pueden encontrar en la Tabla 1. La evaluación de las diferentes mallas se realiza mediante la comparación de las leyes de los tubos correspondientes. Los resultados se muestran en la Fig. 3. Como es particularmente evidente a partir del análisis de los elementos angulares (ver Fig. 3a), la malla gruesa no predice correctamente la transición de pandeo y se vuelve inestable en la región de contacto. Para todos los análisis siguientes, se ha empleado la malla intermedia. Con esta elección, el tiempo de simulación en 128 núcleos es de aproximadamente quince minutos.

Análisis de sensibilidad de malla del modelo numérico.

Para asegurar que el cálculo de la ley del tubo no esté influenciado por la pendiente de la rampa para la presión externa descrita por la Ec. (3), se realiza un análisis de sensibilidad en términos de la relación \(p_{max}/\tau\). En particular, fijando el valor de \(p_{max}=4000\) Pa, tres valores diferentes de \(\tau \in (10 \, \text { s}, 5 \, \text { s}, 2.5 \, \text { s})\), correspondientes a índices de presión de \((400 \, \text { Pa/s}, 800 \, \text { Pa/s}, 1600 \, \text { Pa /s})\), respectivamente. Los resultados se interpretan en términos de las leyes de los tubos correspondientes. El valor de \(p_{max}\) ha sido elegido por ser relevante para el análisis de condiciones respiratorias patológicas. En efecto, en condiciones normales de respiración, la caída de presión entre los conductos alveolares y la boca es del orden de 2000 Pa39. Sin embargo, en caso de espiración forzada puede variar de 4000 a 10000 Pa40, dependiendo del tamaño del paciente41. En el caso del asma, los pacientes suelen presentar espiración forzada con presencia de sibilancias en este rango de presiones, lo que se relaciona con el colapso de las vías respiratorias de los pulmones42. Como se muestra en la Fig. 4a, la resolución de presión asociada con una tasa de presión de 1600 Pa/s es demasiado gruesa para capturar el comportamiento del tubo tanto en la fase de pandeo como en la de contacto. Para todos los análisis siguientes, se utiliza el mayor valor de \(\tau\), correspondiente a 400 Pa/s.

(Panel izquierdo) Análisis de la dependencia del modelo con la rampa de presión externa. (Panel derecho) Comparación de las leyes de los tubos obtenidas empleando el modelo de elasticidad lineal y de elasticidad Neo-Hookean.

Para tener en cuenta las grandes deformaciones involucradas en el comportamiento completo de pre y post-pandeo de un tubo colapsable, se necesita emplear un material hiperelástico43. En este análisis se ha implementado una ley material neo-hookeana. El potencial de energía de deformación correspondiente dice

donde \(I_1\) es la traza (primera invariante) del tensor de deformación derecho de Cauchy-Green, J es el determinante del tensor de gradiente de deformación y

donde \(\nu\) y E son el coeficiente de Poisson y el módulo de Young, respectivamente. El valor de estos dos parámetros elásticos es \(\nu =0.49\) y \(E=1\) MPa. La densidad del tubo es \(\rho =1000\) kg m\(^{-3}\). Estos valores han sido estimados en el trabajo de Gregory31 como relevantes para el análisis de conductos en pulmones humanos. Como se analiza en la siguiente subsección, el modelo Neo-Hookean puede reproducir los resultados experimentales. La comparación entre las leyes de los tubos obtenidas con un material Neo-Hookean y un material elástico lineal isotrópico se presenta en la Fig. 4b. Al usar el modelo elástico lineal, la simulación se vuelve inestable e incapaz de capturar la ley del tubo en la región posterior al pandeo. La razón se encuentra en las grandes deformaciones involucradas en el proceso. Aunque podría ser de interés estudiar la sensibilidad de los resultados obtenidos en términos de otras leyes hiperelásticas44,45,46, el empleo de la elasticidad Neo-Hookeana ha mostrado una notable convergencia numérica (ver "Modelo numérico y métodos") y es capaz de reproducir los resultados experimentales (ver Fig. 5). Además, otras leyes materiales pueden requerir un análisis de parametrización adicional con respecto a la ley de Neo-Hookean, cuyos coeficientes se pueden calcular directamente a partir de la relación de Poisson y el módulo de Young utilizando la ecuación. (6). En consecuencia, se empleará la elasticidad Neo-Hookeana en el resto del tratamiento y la comparación de los resultados con respecto a diferentes leyes materiales será objeto de un trabajo futuro.

La validación experimental de los resultados obtenidos por el modelo numérico se realiza por comparación con los datos experimentales (disponibles públicamente) proporcionados por Gregory31, 32. En el equipo experimental empleado, primero se preestira un tubo plegable y luego se sujeta. El valor de la presión intramural se reduce con una jeringa y se controla con un manómetro. Los valores correspondientes del área de la sección transversal central se calculan analizando las imágenes tomadas por un sistema de cámara desde múltiples posiciones (se pueden encontrar más detalles en el artículo original31).

Validación del modelo numérico por comparación con datos experimentales31, 32. Para estimar las barras de error se mide 3 veces el área inicial. La longitud de las barras de error es igual a la diferencia absoluta entre los valores máximo y mínimo correspondientes.

La validación se realiza comparando las leyes de los tubos obtenidas experimentalmente y por el modelo numérico. Para cada tubo empleado en la comparación, se implementa una réplica digital (representada por los puntos rojos en la Fig. 2a) en Star-CCM+ utilizando el software CAD integrado. Se imponen las mismas condiciones límite (preestiramiento axial y sujeción). El rango de presión intramural explorado con las simulaciones actuales es mayor e incluye el correspondiente empleado en los experimentos. En la Fig. 5, se informa la comparación con cuatro geometrías de tubo diferentes y valores de preestiramiento. El modelo numérico captura bien el comportamiento previo y posterior al pandeo del sistema.

En esta sección, se presenta un método para determinar el valor de la presión crítica de pandeo a partir de la ley del tubo. La suposición principal es que el fenómeno de pandeo de un tubo colapsable es una ruptura de simetría espontánea y, por lo tanto, puede tratarse como una transición de fase de segundo orden. Una transición de fase de segundo orden ocurre cuando el sistema continuamente (y no instantáneamente) alcanza un nuevo estado de simetría reducida47. La observación fenomenológica de que una presión externa isotrópica genera una forma de sección transversal pandeada que no es invariante rotacional respalda esta hipótesis. Además, como es evidente a partir de la ley del tubo (ver el círculo azul en la Fig. 1), la transición del estado previo al pandeo ocurre continuamente. De manera más rigurosa (e inspirado en problemas biofísicos), Turzi37 ha demostrado que el fenómeno de pandeo de un anillo elástico estirable sometido a una presión isotrópica es una transición de fase de segundo orden. Aunque la transliteración rigurosa de estos resultados obtenidos en un anillo 1D a un tubo colapsable preestirado en 3D está más allá del alcance de este trabajo, la analogía fenomenológica entre el comportamiento de pandeo de un anillo y de la sección transversal central de un tubo colapsable ha sido ampliamente establecida48. Esta analogía ha sido explotada en varias ocasiones para extender los resultados analíticos 1D al tratamiento de tubos plegables 3D49, 50. Sin embargo, en la economía del presente trabajo, esta observación sirve solo para respaldar aún más la suposición principal del método, es decir, que el pandeo del tubo colapsable es una transición de fase de segundo orden. La metodología descrita en la siguiente subsección, de hecho, no requiere ninguna simplificación geométrica y puede extenderse sin más hipótesis a geometrías realistas inspiradas en los conductos y vasos humanos asociados con los sistemas respiratorio y circulatorio, incluso en presencia de flujo de fluidos.

El tratamiento termodinámico de las transiciones de fase de segundo orden requiere la introducción de dos objetos matemáticos principales: el parámetro de orden, \(\alpha\), y el potencial de Landau, \(\varphi\), del sistema36 (un ejemplo común de Landau potencial es la energía libre del sistema). El parámetro de orden es una función de alguna variable termodinámica que es diferente de cero antes de la transición e igual a cero después de la transición. Un ejemplo típico es la magnetización en función de la temperatura en la transición ferromagnético-paramagnético. La suposición principal de esta formulación de la teoría del campo medio es la ausencia de correlaciones de largo alcance en el dominio. Además, se requiere que el potencial de Landau respete las mismas simetrías de las ecuaciones diferenciales que describen la evolución del sistema y que sea analítico en el parámetro de orden y su gradiente36. En consecuencia, en la región de transición, el potencial de Landau se puede expandir de Taylor en términos del parámetro de orden \(\alpha\) como

donde \(c_1>0\) y \(c_2 >0\) son constantes, \(\xi\) es una variable termodinámica, y \(\xi _{crit}\) es el valor crítico para \(\xi \) en el que se produce la transición. La minimización del potencial de Landau produce una ecuación para el parámetro de orden:

Esta ecuación tiene dos soluciones (ver Fig. 6a):

(Panel izquierdo) Gráfico de Eq. (9) para \(\xi _{crit}=1\) y \(\xi <\xi _{crit}\). (Panel derecho) Detalle de la región de transición de pandeo preprocesada en el ajuste de la ley del tubo con la ecuación. (10). La analogía entre las dos tramas avala la validez de la hipótesis.

Por tanto, si se conoce la relación entre el parámetro de orden \(\alpha\) y la variable termodinámica \(\xi\) en una pequeña vecindad de la transición, es posible estimar el valor de \(\xi _{crit }\) por medio de la Ec. (9). La principal limitación de este enfoque es que proporciona una descripción puramente fenomenológica de la transición, descuidando, por ejemplo, el tratamiento de las fluctuaciones. No obstante, se puede utilizar eficazmente para investigar los puntos críticos de la transición de fase, que es exactamente el alcance de este trabajo. Es necesario tener en cuenta una capa adicional de complejidad al considerar los problemas de elasticidad. Aunque la energía de deformación conocida a priori del sistema puede desempeñar el papel de un potencial de Landau, esta ya no es una función sino una función definida en un espacio de dimensión infinita. En el trabajo de Turzi37, realizó una reducción rigurosa de la energía elástica a un potencial de Landau de dimensión finita para estudiar el fenómeno de pandeo de muchos sistemas elásticos, incluido un anillo extensible 1D sometido a una presión isotrópica externa. Además, muestra que el área encerrada del anillo es una función del parámetro de orden. Estas observaciones se pueden utilizar en el contexto de este trabajo para estimar la presión crítica de pandeo de un tubo colapsable a partir de la ley del tubo. Siguiendo a Turzi, el área de la sección transversal central del tubo se puede utilizar como una función representativa del parámetro de pedido. La relación entre el parámetro de orden y la presión intramural \(p_{intr}\) (que juega el papel de la variable \(\xi\) en la Ec. (9)) se puede analizar usando la ley del tubo. La metodología consiste en un procedimiento de ajuste de la ley del tubo con una generalización de la Ec. (9) capaz de ajustarse a una porción más amplia de la ley del tubo, ya que esta relación es válida solo en una pequeña vecindad de la transición. Entre las varias extensiones de la ec. (9) propuesta en la literatura51, la siguiente función ha mostrado los mejores resultados (ver Fig. 6b)

donde \(A_{crit}\) es el valor del área correspondiente a la presión crítica de pandeo \(p_{crit}=-\tilde{p}_{crit}\), \(c_1>0\) y \ (c_2>0\) son dos parámetros libres, \(\tilde{p}=-p_{intr}\), y \(\beta >0\) es un parámetro libre adicional, generalmente llamado exponente crítico. Los resultados de este análisis se han obtenido según el siguiente procedimiento:

Para cualquier triplete \((d,\gamma , l)\) de parámetros geométricos (es decir, para cualquier punto de datos en la Fig. 2a), el modelo numérico correspondiente se implementa de acuerdo con "Modelo y métodos numéricos".

La ley del tubo correspondiente, es decir, los dos conjuntos \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\ ), se calcula como se explica en "La ley del tubo".

La ley del tubo está preprocesada. Dado que el presente análisis se centra en la presión de pandeo, se desprecia la región de la ley del tubo relativa al contacto. Además, la presión intramural se redefine en términos de \(\tilde{p}=-p_{intr}\). Un ejemplo de la gráfica correspondiente se muestra como la línea negra continua en la Fig. 6b.

Se utiliza un algoritmo de Python que emplea la función scipy.optimize.curve_fit52 para ajustar la ley del tubo preprocesada con la ecuación. (10) (línea roja discontinua en la Fig. 6b). El valor de \(A_{crit}\) está optimizado para maximizar la calidad del ajuste. Se extraen los valores de los parámetros \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) con las varianzas correspondientes.

En la siguiente subsección, se discuten los resultados de este análisis y la dependencia de la presión crítica de pandeo de los parámetros geométricos.

El procedimiento algorítmico presentado en el apartado anterior permite estudiar la dependencia de la presión crítica de pandeo con los parámetros geométricos de un tubo colapsable. Para capturar el comportamiento completo posterior al contacto del sistema, la presión intramural máxima se fija en \(p_{max}=8000\) Pa y \(\tau =20\) s, lo que corresponde a una resolución en la presión de 40 Pa (ver ecuación (3)). En primer lugar, se investiga la dependencia de la relación longitud/diámetro d. Los valores numéricos de los parámetros \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) obtenidos por el procedimiento de ajuste y la varianza correspondiente se pueden encontrar en los datos complementarios. El valor promedio de los exponentes críticos es \(\bar{\beta }=0.55\pm 0.07\), que es consistente con el valor esperado del exponente de la ecuación. (9). Los valores de las presiones críticas obtenidos para \(d\in (3,3.5,4,4.5,5,5.5,6)\) se muestran en la Fig. 7a. La relación entre \(p_{crit}\) y la relación longitud-diámetro d se obtiene mediante un procedimiento de ajuste usando la siguiente función

donde A, B, C son parámetros libres. Esta función modelo imita la misma dependencia funcional de \(p_{crit}\) en d descrita por Eq. (1) y en la obra de Zarandi35. El valor resultante se enumera en la Tabla 2. Los otros parámetros geométricos se fijan en \(l=1.1\) y \(\gamma =0.06\). Curiosamente, el exponente B obtenido con el método presentado casi coincide dentro del error con el de la ecuación de von Mises (1), mientras que Zarandi estimó un valor de -3,3. Sin embargo, como se muestra en la Fig. 7a, Eq. (1) sobreestima el valor de la presión crítica de pandeo en el rango de parámetros de interés para los vasos humanos. Las diferencias con respecto a los resultados obtenidos por Zarandi probablemente se deban a la definición heurística de la presión crítica de pandeo empleada en su trabajo35. En el contexto de la teoría de transición de fase, Eq. (11) evaluado utilizando los parámetros enumerados en la Tabla 2 define el límite entre el estado sin pandeo y el estado de pandeo para el tubo colapsable en términos de la relación longitud-diámetro (ver Fig. 7b para el diagrama de fase correspondiente \((d , p_{intr})\)). Una visualización de las leyes de los tubos analizadas al expandir el parámetro d está disponible en la Fig. 8.

(Panel izquierdo) Comparación entre los datos de simulación ajustados con la ecuación. (11) y la ecuación de von Mises. (Panel derecho) Diagrama de fase para la transición de fase de pandeo en términos de la relación longitud-diámetro d.

Leyes de los tubos obtenidas al generar el valor de la relación longitud-diámetro d. Los puntos negros representan el valor de las presiones críticas de pandeo y las áreas correspondientes estimadas para las diferentes leyes de los tubos.

Consideremos ahora la dependencia de la presión crítica de pandeo de la relación espesor-diámetro \(\gamma\). Los valores numéricos de los parámetros \((c_1, c_2, {\tilde{p}}_{crit}, \beta )\) del ajuste con la Eq. (10) y las variaciones correspondientes se enumeran en los datos complementarios. El valor promedio de los exponentes críticos es \(\bar{\beta }=0.5\pm 0.04\), que es consistente con la Eq. (9). Los valores de las presiones críticas obtenidos para \(\gamma \in (0.05, 0.06,0.07,0.08,0.09)\) se muestran en la Fig. 9a. La relación \(p_{crit}=p_{crit}(\gamma )\) se obtiene mediante un procedimiento de ajuste usando la siguiente función

donde A y B son parámetros libres. Esta función modelo sigue la misma dependencia funcional para \(\gamma\) descrita en la ecuación. (1). El valor resultante se enumera en la Tabla 2. Los otros parámetros geométricos se fijan en \(l=1.1\) y \(d=3\). La comparación entre el modelo de von Mises y los resultados obtenidos en este trabajo se muestra en la Fig. 9a. Para los valores de los parámetros geométricos investigados en este trabajo (ver Fig. 2a), la ecuación de von Mises claramente sobreestima el valor de la presión crítica de pandeo. La razón se encuentra en la suposición del modelo de von Mises que emplea la teoría de capa delgada. De hecho, la discrepancia aumenta para valores más altos de \(\gamma\). De manera similar al análisis anterior, la Ec. (12) define el límite entre el estado de pandeo y el estado sin pandeo en el diagrama de fase \((\gamma , p_{intr})\) (ver Fig. 9b). Una visualización de las leyes de los tubos analizadas al expandir el parámetro \(\gamma\) está disponible en la Fig. 10.

(Panel izquierdo) Comparación entre los datos de simulación ajustados con la ecuación. (12) y la ecuación de von Mises. (Panel derecho) Diagrama de fase para la transición de fase de pandeo en términos de la relación espesor-diámetro \(\gamma\).

Leyes de los tubos obtenidas al generar el valor de la relación espesor-diámetro \(\gamma\). Los puntos negros representan el valor de las presiones críticas de pandeo y las áreas correspondientes estimadas para las diferentes leyes de los tubos.

Finalmente, se analiza la dependencia de la presión crítica de pandeo con la relación l de longitud a diámetro de preestiramiento axial. Los valores numéricos de los parámetros \((c_1, c_2, \tilde{p}_{crit}, \beta )\) del ajuste con la Eq. (10) y las variaciones correspondientes se enumeran en los datos complementarios. El valor promedio de los exponentes críticos es \(\bar{\beta }=0.55\pm 0.05\), que nuevamente es consistente con el exponente de la ecuación. (9). Los valores de las presiones críticas obtenidos para \(l\in (1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8)\) se muestran en la Fig. 11a. La relación \(p_{crit}=p_{crit}(l)\) se obtiene mediante un procedimiento de ajuste usando la siguiente función

donde A, B, C son parámetros libres. Esta función se ha elegido observando que el valor de la presión crítica se vuelve asintóticamente constante para valores más altos de l. Los valores resultantes se enumeran en la Tabla 2. La dependencia de la presión crítica de pandeo en el preestiramiento axial adimensional l se presenta en la Fig. 11a. El diagrama de fase \((l, p_{intr})\) se muestra en la Fig. 11b, donde el límite entre el estado de pandeo y el estado sin pandeo está definido por la ecuación. (13). En la Fig. 12 se encuentra disponible una visualización de las leyes de los tubos analizadas al expandir el parámetro l. El efecto del estiramiento previo es evidente a presiones intramuros bajas, ya que el valor inicial del área normalizada se vuelve más pequeño para valores más grandes del estiramiento previo. estirar el parámetro l. El interesante comportamiento que ocurre en la región de contacto (alrededor de \(-6000\) Pa) será objeto de futuras investigaciones.

(Panel izquierdo) Comparación entre los datos de simulación y la ecuación. (13). (Panel derecho) Diagrama de fase para la transición de fase de pandeo en términos de la relación de preestiramiento l.

Leyes de los tubos obtenidas al extender el valor de la relación de preestiramiento l. Los puntos negros representan el valor de las presiones críticas de pandeo y las áreas correspondientes estimadas para las diferentes leyes de los tubos.

Los resultados descritos en "Presión crítica de pandeo" describen las dependencias funcionales entre las cantidades físicas utilizadas para describir el comportamiento previo y posterior al pandeo de un tubo colapsable. Los valores absolutos de la presión crítica de pandeo presentados, sin embargo, dependen de los parámetros geométricos que se mantienen fijos durante los diferentes análisis. En esta sección se derivan un conjunto de ecuaciones generales capaces de estimar los valores de la presión crítica de pandeo, junto con el área correspondiente, para un tubo colapsable de geometría (razonablemente) arbitraria. El método se basa en una observación de Gregory et al.31, quienes derivaron experimentalmente un conjunto de variables no dimensionales capaces de colapsar aproximadamente diferentes leyes del tubo en una sola curva. Demostraron que al redefinir la presión intramural, \(p_{intr}\), y el área de la sección transversal central, A, en la siguiente forma adimensional

diferentes leyes de tubos tienden a colapsar en una sola ley general de tubos adimensional (ver Fig. 13). La validez de esta afirmación se ha probado experimentalmente para el rango de parámetros \((d,\gamma ,l)\) de interés para los flujos biomédicos31.

(Panel izquierdo) El conjunto de leyes de los tubos analizado en este trabajo. (Panel derecho) Las correspondientes leyes del tubo adimensional obtenidas por la transformación en la ecuación. (14). Las tramas casi colapsan en una sola línea. El punto negro indica los valores promedio de la presión crítica de pandeo adimensional y el área correspondiente como en la ecuación. (dieciséis).

Empleando las variables adimensionales definidas en la expresión (14), se ha implementado el siguiente procedimiento para determinar un conjunto de ecuaciones generales adimensionales para la presión crítica de pandeo y el área correspondiente:

Para cualquier triplete \((d,\gamma ,l)\) de parámetros geométricos, el modelo numérico correspondiente se implementa de acuerdo con "Modelo y métodos numéricos".

La ley del tubo correspondiente, es decir, los dos conjuntos \(\{p_{intr}^j\}_{j=1}^M\), \(\{A^j\}_{j=1}^M\ ), se calcula como se explica en "La ley del tubo".

El valor de la presión crítica de pandeo y el área correspondiente se estima a partir de la ley del tubo utilizando el procedimiento descrito en "Estimación de la presión crítica de pandeo".

Los valores de las presiones críticas de pandeo y las áreas correspondientes, se redefinen de acuerdo a la Ec. (14).

De esta forma, se calculan los valores adimensionales de las presiones críticas de pandeo y las áreas correspondientes para todo el conjunto de parámetros geométricos investigados en este estudio. En otras palabras, la salida de este procedimiento son los siguientes dos conjuntos de valores

correspondiente al conjunto de presión crítica de pandeo adimensional y áreas críticas de pandeo, respectivamente. El índice i corre sobre los tripletes de parámetros geométricos analizados en este estudio y \(N=20\) indica su número total. Como se muestra en la Fig. 13, las leyes de los tubos obtenidas por medio de la Ec. (14) no colapsan exactamente en una línea, sino que muestran una distribución de valores relativamente pequeña. Al calcular las medias y las desviaciones estándar correspondientes para cada conjunto en la ecuación. (15) es posible obtener las siguientes expresiones para la presión crítica y el área crítica de pandeo:

Dado cualquier triplete de parámetros geométricos \((d,\gamma , l)\), Eq. (16) estimar el valor de las presiones críticas de pandeo y el área correspondiente.

En este trabajo se ha realizado un estudio sistemático de la presión crítica de pandeo de un tubo colapsable mediante simulaciones numéricas 3D validadas y una técnica de post-procesado basada en la teoría de transición de fase. Se ha presentado la dependencia funcional de tales presiones críticas en términos de los parámetros geométricos. Finalmente, se ha derivado un conjunto de ecuaciones generales adimensionales para la estimación de las presiones críticas de pandeo, junto con las áreas correspondientes de la sección transversal central del tubo. La metodología presentada en este trabajo permite una estimación rigurosa y reproducible de la presión crítica de pandeo de un tubo colapsable. La principal ventaja es que no requiere ninguna suposición geométrica, sino que se basa únicamente en la observación de que el pandeo de un tubo colapsable puede tratarse como una transición de fase de segundo orden, lo que hace que el método sea adecuado para otros tipos de aplicaciones53, 54. Esto implica que este enfoque puede emplearse directamente para estimar la presión crítica de pandeo en geometrías complejas específicas del paciente, como las vías respiratorias faríngeas de pacientes con apnea del sueño, incluso en presencia de flujo de fluido, lo que representa la continuación natural de este trabajo. Otra perspectiva interesante es la posibilidad de analizar la sensibilidad de los resultados presentados en términos de otras teorías hiperelásticas. Finalmente, un análisis en profundidad de la presión crítica de contacto será objetivo de un trabajo futuro.

Los algoritmos empleados en este trabajo se pueden encontrar en https://github.com/MarcoLaud/CollapsibleTube. Los datos de la simulación se pueden proporcionar bajo petición razonable poniéndose en contacto con el autor correspondiente de este trabajo.

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El proyecto está financiado por KTH Engineering Mechanics en las áreas temáticas Biomecánica, Salud y Biotecnología (BHB) y el Consejo Sueco de Investigación Grant VR 2020-04857. Los autores agradecen a PRACE por otorgar acceso a los recursos de Infraestructura Fenix en CINECA, que están parcialmente financiados por el programa de investigación e innovación Horizonte 2020 de la Unión Europea a través del proyecto ICEI bajo el acuerdo de subvención No. 800858. Las simulaciones se realizaron parcialmente en el Parque Nacional Sueco. Recursos de Infraestructura para Computación (SNIC) en PDC Center for High Performance Computing (PDC-HPC). Los autores desean agradecer al Dr. E. Nocerino por las fructíferas discusiones sobre la teoría de la transición de fase.

Financiamiento de acceso abierto proporcionado por el Royal Institute of Technology.

Departamento de Ingeniería Mecánica, Centro de Investigación FLOW, KTH Royal Institute of Technology, 10044, Estocolmo, Suecia

Marco Laudato, Roberto Mosca y Mihai Mihaescu

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ML concibió las simulaciones y las técnicas de posprocesamiento. RM colaboró en la implementación de las simulaciones. MM inició el proyecto y colaboró en el análisis de los resultados. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a Marco Laudato.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Laudato, M., Mosca, R. & Mihaescu, M. Presiones críticas de pandeo en tubos colapsables relevantes para flujos biomédicos. Informe científico 13, 9298 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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Recibido: 12 Abril 2023

Aceptado: 05 junio 2023

Publicado: 08 junio 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-36513-6

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